SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel)

-

 Jum'at, 27 Agustus 2021

Fajar Bintang Pramudia

XMIPA1 / 8

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL 

Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing – masing persamaannya juga bervariabel tiga. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan bentuk perluasan dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), dimana pada Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).

Bentuk Umum SPLTV

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah:

Dengan a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3 adalah bilangan real

Keterangan:

a1, a2, a3 adalah koefisien dari x

b1, b2, b3 adalah koefisien dari y

c1, c2, c3 adalah koefisien dari z

d1, d2, d3 adalah konstanta

x, y, z adalah variabel (peubah)

Cara Penyelesaian SPLTV

Metode Campuran (Eleminasi + Subsitusi)

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.

Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8

Jawab:

■ Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1

Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x – y + 2z=4   |× 2|→2x – 2y + 4z=8
2x + 2y – z=2 |× 1|→2x + 2y – z=2
3x + y + 2z=8 |× 2|→6x + 2y + 4z=16

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14

■ Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:
⇒ 4x + 3(2) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1

Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + 2(2) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ 5 – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.

Metode Determinan Matriks

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

■ Menentukan nilai Dx

■ Menentukan nilai Dy

■ Menentukan nilai Dz

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.


Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.


Daftar Pustaka :
https://edura.id/blog/matematika/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel/
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/10/penyelesaian-SPLTV-metode-campuran.html?m=0



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SPKK

-
 Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat Dan Beberapa Contoh Soalnya Fajar Bintang Pramudia X MIPA 1  Contoh Soal 1: Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya. y = x2 y = 2x2 – 3x Jawab: Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh: ⇒ x2 = 2x2 ⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0 ⇒ x2 – 3x = 0 ⇒ x(x – 3) = 0 ⇒ x = 0 atau x = 3 Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2. ■ Untuk x = 0 diperoleh: ⇒ y = x2 ⇒ y = (0)2 ⇒ y = 0 ■ Untuk x = 3 diperoleh: ⇒ y = x2 ⇒ y = (3)2 ⇒ y = 9 Contoh Soal 2: Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya. y = x2 – 1 y = x2 – 2x – 3 Jawab: Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh: ⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3 ⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1 ⇒ 2x = –2 ⇒ x = –1 Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan ...
Baca selengkapnya

Soal Kontekstual Berkaitan Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku, Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

-
Gambar
Soal Kontekstual Berkaitan Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku, Sudut Elevasi dan Sudut Depresi Masalah Kontekstual mengenai Sudut Elevasi dan Sudut Depresi  1. Sebuah pohon berjarak 130 meter dari seorang pengamat dengan tinggi mata pengamat dari tanah adalah 168 cm. Apabila sudut elevasi yang terbentuk adalah 60° dari mata pengamat ke pucuk pohon, maka tinggi pohon tercebut adalah …. Jawab: Agar mudah dalam menyelesaikan masalah di atas, kita harus mampu mentransformasi setiap kalimat dari perrnyataan di atas dalam sebuah gambaran. Dik: Jarak pengamat ke pohon: 130 meter Tinggi pengamat: 168 cm = 1,68 meter Sudut Elevasi 60° Dit: Tinggi pohon. Penyelesaian: Pertama. Buatlah ilustrasinya Kedua. Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya Misalkan: Tinggi pohon – tinggi pengamat = t Jarak pengamat ke pohon =x Sehingga kita bisa membuat ilustrasi yang lebih sederhana dengan menggunakan segitiga siku-siku Dari gambar segiti...
Baca selengkapnya

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Linear

-
 Nama: Fajar Bintang Pramudia Kelas: X MIPA 1 (8) Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Linear 1. Pengertian Sistem Persamaan Kuadrat-Linear Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan. Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dengan * adalah tanda pertidaksamaan.    2. Metode Penyelesaian Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat dapat memakai metode grafik fungsi linear dan metode grafik fungsi kuadrat. 3. Contoh soal 1. Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 100 dan bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.  Penyelesaian : Misalkan : Bilangan pertama = x Bilangan kedua = 3x Berdasarkan ketentuan yang ada pada soal, diperoleh model matematika sebagai berikut. x + 3x ≥ 100 4x ≥ 100 Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu diselesikan sebagai berikut. 4x ≥ 100 x ≥ 25 Bilangan pe...
Baca selengkapnya